Integral Definida

 Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.= [f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + ………… + f(x_n–1)] D x o bien=  donde x₀ = a, x_n = b y D x = .(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [x_i-1, x_i] con i = 1, .., n)

Definición 1: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
=[f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + ……………………… + f(x_n)] D x= donde x₀ = a, x_n = b y D x = .(la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [x_i-1, x_i] con i = 1, .., n)

Definición 2: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
= [f(t₁) + f(t₂) + f(t₃) + ……………………… + f(t_n)] D x= donde x₀ = a, x_n = b y D x = .(la función se evalúa en cualquier punto t_i de cada subintervalo [x_i-1, x_i] con i = 1, .., n)El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración.

Definición 3: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:

La integral definida se representa por:

La integral definida se representa por:
∫ : es el signo de integración.
a : límite inferior de la integración.
b:  límite superior de la integración.
f(x) : es el integrando o función a integrar.
dx: es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.    

Reglas de cálculo de las integrales definidas:

• 1. Fórmula de Newton-Leibniz:

• 2. integración por partes

• 3. Cambio de variable:

Donde es una función continua junto con su derivada en el segmento es una función continua en el segmento Ejemplo:En este caso hacemos un cambio de variable ya que el argumento de la función es aparentemente complejo, o sea:

Por lo que la integral nos quedará de la siguiente forma:

Propiedades principales de una integral definida